Question

高中一道关于圆的问题

已知圆C1:x^2+y^2-4x-2y-5=0和圆C2:x^2+y^2-6x-y-9=0
在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于6√2
全过程，谢谢

Answer 1

（1）圆C1：(x-2)^2+(y-1)^2=10
圆C2：(x-3)^2+(y-1/2)^2=73/4
∵两圆心距|C1C2|=根号下(2-3)^2+(1-1/2)^2=根号5/2
且根号73/2-根号10＜根号5/2＜根号73/2+根号10
∴圆C1与圆C2相交
（2）联立两圆方程
x^2+y^2-4x-2y-5=0
x^2+y^2-6x-y-9=0
两圆方程相减得两圆公共弦所在直线方程
2x-y+4=0
（3）设P（x，y），依题意得
2x-y+4=0
x^2+y^2-6x-y-9=（6根号2）^2
解得
x=-23/5 y=-26/5
或
x=3 y=10
∴P点坐标为（-23/5，-26/5）或（3,10）

追问

设P（x，y），依题意得
2x-y+4=0
x^2+y^2-6x-y-9=（6根号2）^2
这一步的原理是什么

追答

第三问的原理用到了这个证明：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。证明见下面那个网址

根据这个定理，可以看出第（3）步两个方程的来源，第一个2x-y+4=0是这个点在公共弦上的直线方程，第二个是x^2+y^2-6x-y-9=（6根号2）^2，点到圆的切线的距离等于6倍根号2。这个题的关键就是明白定理：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。然后在这条直线上找到距离到2圆等于6倍根号2就可。

参考资料： http://www2.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200417/101ktb/lanmu/JDS0133/JDS0133.htm

追问

非常感谢。这句话：过一点作两相交圆的切线且切线相等,则该点一定在相交圆的相交弦上，对吗？
就是，相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等，这句的逆命题？

追答

是的，根据这个圆幂定理证明。

参考资料： http://baike.baidu.com/view/378963.htm

Answer 2

过程有些麻烦 这里我就写思路了
设P坐标（x,y) 利用P，圆心，切点三点组成的直角三角形勾股定理 分别算出两圆心与P点的距离 用X Y表示 设为d1,d2 再利用勾股定理 列出方程d1^2+r1^2=(6√2)^2与d2^2+r2^2=(6√2)^2
两未知数x y 两方程 可以解出P（x,y)