如图已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,且对称
解:(1)∵直线y=-3x-1与抛物线的一个交点的横坐标是-2
∴将X=-2代入y=-3x-1,得y=5
∴这个交点的坐标是(-2, 5)
∵抛物线的对称轴为直线X=1,
∴此抛物线的顶点的横坐标为1, 将X=1代入y=-3x-1,得y=-4
∴M(1, -4)
设抛物线解析式是y=a(x-1)²-4
将点(-2, 5)代入y=a(x-1)²-4,
得a(-2-1)²-4=5
解得:a=1
∴抛物线的解析式是y=(x-1)²-4=x²-2x-3
(2) ∵抛物线y=x²-2x-3与X轴的交点为A(-1,0) 、B(3, 0), 与Y轴的交点为C(0,-3)
∴OA=1, OB=3, OC=3
连接PO,设点P的坐标是(x, -3x-1)
则S四边形PQAC=S△AOC+S△POC+S△POB
∵S△AOC=½×1×3=3/2
S△POC= ½×3×x=(3/2)x, S△POB= ½×3×|-3x-1|=(9/2)x+(3/2)
∴S四边形PQAC= (3/2)+(3/2)x+(9/2)x+(3/2)
若四边形PQAC面积为7,则 (3/2)+(3/2)x+(9/2)x+(3/2)=7
解得:x=2/3
∵点P在线段BM上,且P不与B重合, 则1≤x＜3
∴在线段BM上不存在这样的点P, 使得四边形PQAC面积为7.
存在这样的点N.
∵N在直线X=1上,
∴设点N的坐标是(1, n)
则BC²=3²+3²=18, CN²=1²+(n+3)²=n²+6n+10, BN²=2²+n²=4+n²
当点N为直角顶点时, CN²+BN²=BC²,n²+6n+10+4+n²=18,
解得:n1=½(-3+√17), n2=½(-3-√17)
当点B为直角顶点时, CN²=BN²+BC²,n²+6n+10=4+n²+18,
解得:n=2
当点C为直角顶点时, BN²=CN²+BC²,4+n²=n²+6n+10+18,
解得:n=-4
∴存在这样的点N,使得以N、B、C为顶点的三角形是直角三角形,
点N的坐标是(1, ½(-3+√17), )或(1, ½(-3-√17)或(1,2)或(1,-4)
把（-2,5）代入可求的a=1.所以此抛物线表达式为y=(x-1)^2-4
2.A(-1,0) B(3,0) C=(0,-3) MB=(2,4) 设P(2x+1,4x-4) 0<x<1
则Q(2x+1,0) S四边形PQAC=S△AOC+S梯形PQOC=3/2+(4-4x+3)(2x+1)/2=-4x^2+5x+5
S四边形PQAC=7 得: 4x^2-5x+2=0 △=b^2-4ac=-7<0 x无解
四边形PQAC的面积不能等于7
3.设N(1,y) 则BN=(-2,y) CN=(1,y+3) CB=(3,3)
N、B、C为顶点的三角形是直角三角形，所以BN*CN=0或BN*CB=0或CN*CB=0
即-2+y(y+3)=0或-6+3y=0或3+3(y+3)=0
y=(-3±√17)/2 或y=2或y=-4
N点坐标为(1,(-3+√17)/2)或(1,(-3-√17)/2)或(1,2)或(1,-4)
