Question

已知O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),向量OM=t1向量OA+t2向量AB

若t1=a∧2，求当向量OM⊥向量AB且△ABM的面积为12时a的值

Answer 1

显然，AB的斜率＝（6－2）/（4－0）＝1。
∵向量OM⊥向量AB，∴OM⊥AB，∴OM的斜率＝－1，∴OM的方程是：y＝－x。
∴可设点M的坐标是（m，－m）。
AB的方程是：y＝x＋2，即x－y＋2＝0，∴点M到AB的距离d＝｜m＋m＋2｜/√（1＋1），

∴S(△ABM)
＝（1/2）AB×d＝（1/2）√［（0－4）^2＋（2－6）^2］×｜m＋m＋2｜/√（1＋1）
＝（1/2）×4√2×｜m＋m＋2｜/√2＝4｜m＋1｜＝12，
∴｜m＋1｜＝3，∴m＋1＝－3，或m＋1＝3，∴m＝－4，或m＝2。
∴点M的坐标是（－4，4），或（2，－2）。

一、当点M的坐标为（－4，4）时，向量OM＝（－4，4）。
　　很明显，向量OA＝（0，2）、向量OB＝（4，6），
　　∴依题意，有：向量OM＝t1向量OA＋t2向量OB，
　　∴4t2＝－4、2t1＋6t2＝4，∴t2＝－1，∴2t1－6＝4，∴t1＝5＝a^2，
　　∴a＝√5，或a＝－√5。

二、当点M的坐标为（2，－2）时，向量OM＝（2，－2）。
　　∵向量OA＝（0，2）、向量OB＝（4，6），向量OM＝t1向量OA＋t2向量OB，
　　∴4t2＝2、2t1＋6t2＝－2，∴t2＝1/2，∴2t1＋3＝－2，∴t1＝－5/2＝a^2。
　　这自然是不合理的，应舍去。

综合上述一、二，得：满足条件的a值为√5，或－√5。