Question

高等数学线性代数问题

用初等变换化二次型为标准形时，E必须放在A的下面吗？E能不能放在A的右边？
还有是不是对列进行变换后，必须对应地对行进行对应的变换？比如说第四列加上第一列，那么必须第四行加上第一行，一旦第二列减去了第三列，必须第二行减去第三行，一旦第一行和第二行交换了位置，第一列和第二列就必须交换位置？

求详解，万分感谢！！！

Answer 1

E可以放在A的下面，E也可以放在A的右边，方法和你说的一样（具体可参看初等变换求逆矩阵的方法），行与列必须同时进行类似变换，目的是保证变换后的二次型为对称的。愿天天开心！

追问

可是我尝试着把E放在A的右边，貌似求出来后还要讲y转化成z才行，而把E放在A的下面的话不用进行y到z的转化，y直接就是标准形了，请问这是怎么回事？

Answer 2

把E放在哪里并不重要，重要的是不能漏掉了变换. 若放在下面，当A化为对角矩阵时，E变为C
则C^TAC ＝对角阵。因为这个C是E通过列变换得来的.

若放在右面，当A化为对角矩阵时，E变为C
则CAC^T ＝对角阵。因为这个C是E通过行变换得来的.

对列进行变换后，必须对应地对行进行对应的变换. 因为这些变换都要求是对称的.

追问

可是我尝试着把E放在A的右边，貌似求出来后还要讲y转化成z才行，而把E放在A的下面的话不用进行y到z的转化，y直接就是标准形了，请问这是怎么回事？

追答

用初等变换(A,E)-->(对角阵B，C) ， （用什么样的行变换，就要用什么样的列变换）
则CAC^T=B, 作对换变换x=C^Ty, 则有
f=x^TAx=(C^Ty)^TA(C^Ty)=y^T(CAC^T)y 就是标准型了.