Question

初中奥数题求教 x+根号(x^2-1)+1/(x-根号(x^2-1))=20,则x^2+根号(x^4-1)+1/(x^2+根号(x^4-1)=

x+根号(x^2-1)+1/(x-根号(x^2-1))=20,则x^2+根号(x^4-1)+1/(x^2+根号(x^4-1)=？

要求详细过程
另附一题 能答加分：
已知a+1/a=1，求a^n+1/a^n=？ 要求详细过程

Answer 1

原题：

1/(x-根号(x^2-1)) 分子和分母 同时乘以 x+根号(x^2-1) 等于：

(x+根号(x^2-1)) / (x^2-(x^2-1)) = x+根号(x^2-1)。

因此 x+根号(x^2-1)+1/(x-根号(x^2-1))
= 2（x+根号(x^2-1)）= 20
就得到 x+根号(x^2-1)=10 (1)
而且 1/(x-根号(x^2-1))=10，因此 x-根号(x^2-1)=1/10 (2)
(1)+(2)可得：x=101/20

同理 x^2+根号(x^4-1)+1/(x^2+根号(x^4-1) 中给右边的分式分子分母同时乘以 x^2-根号(x^4-1) 就有
x^2+根号(x^4-1)+1/(x^2+根号(x^4-1)

= x^2+根号(x^4-1) - x^2-根号(x^4-1)
= 2*(x^2)
= 10201/200

补充问题：
你确定这个是初中的奥数题么。。。
因为a+1/a在a<0时总小于0，不可能为1，
而在 a>0 时， 有 a+1/a ≥ 2*根号a*(1/根号a) = 2。
因此我怎么也想不出一个数可以满足 a+1/a=1 。。。。

Answer 2

(x+根号(x^2-1)) / (x^2-(x^2-1)) = x+根号(x^2-1)。

因此 x+根号(x^2-1)+1/(x-根号(x^2-1))
= 2（x+根号(x^2-1)）= 20
就得到 x+根号(x^2-1)=10 (1)
而且 1/(x-根号(x^2-1))=10，因此 x-根号(x^2-1)=1/10 (2)
(1)+(2)可得：x=101/20

同理 x^2+根号(x^4-1)+1/(x^2+根号(x^4-1) 中给右边的分式分子分母同时乘以 x^2-根号(x^4-1) 就有
x^2+根号(x^4-1)+1/(x^2+根号(x^4-1)

= x^2+根号(x^4-1) - x^2-根号(x^4-1)
= 2*(x^2)
= 10201/200

Answer 3

[x+根号(x^2-1)][x-根号(x^2-1)]=x^2-(x^2-1)=1

x+根号(x^2-1)+1/(x-根号(x^2-1))=20

x+根号(x^2-1)=10

根号(x^2-1)=10-x x^2-1=100-20x+x^2 20x=101 x=101/20
x^2+根号(x^4-1)+1/(x^2+根号(x^4-1))=x^2+根号(x^4-1)+x^2-根号(x^4-1)=2x^2=10201/200

a+1/a=1 a^n+1/a^n 是个循环，
a^2+1/a^2=(a+1/a)^2-2=-1
注意到a^n+1/a^n=(a+1/a)[a^(n-1)+1/a^(n-1)]-[a^(n-2)+1/a^(n-2)]
所以有a^3+1/a^3=-1-1=-2 a^4+1/a^4=-2-(-1)=-1 a^5+1/a^5=-1-(-2)=1
a^6+1/a^6=1-(-1)=2 a^7+1/a^7=2-1=1 a^8+1/a^8=1-2=(-1)
a7=a1 a8=a2 按公式知a(n)为6个一轮循环,1,-1,-2,-1,1,2

Answer 4

a+1/a=1得1/a=0
所以a^n+1/a^n=1+1/a^n=1+（1/a）^n=1+0=1