当x>0时，证明ln(1+1/x)<1/√x(x+1)求过程
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解：令t=1/x,则t>0,故既要证明 ln(1+t)< t/√(1+t)
故令f(t)=ln(1+t)-t/√(1+t),t>0
则f '(t)=1/(1+t)-1/√(1+t)+t/(1+t)^3/2
=[2√(1+t) -2-t]/2(1+t)^3/2
令g(t)=2√(1+t) -2-t ,t>0
g '(t)=1/√(1+t) -1<0,(因为t>0)
即g(t)在t>0上递减，因此g(t)<g(0)=0
因此可知f '(t)<0
故f(t)在t>0上递减，
因此f(t)<f(0)=0
即ln(1+t)-t/√(1+t)<0
也即ln(1+1/x)<1/√x(x+1)
故令f(t)=ln(1+t)-t/√(1+t),t>0
则f '(t)=1/(1+t)-1/√(1+t)+t/(1+t)^3/2
=[2√(1+t) -2-t]/2(1+t)^3/2
令g(t)=2√(1+t) -2-t ,t>0
g '(t)=1/√(1+t) -1<0,(因为t>0)
即g(t)在t>0上递减，因此g(t)<g(0)=0
因此可知f '(t)<0
故f(t)在t>0上递减，
因此f(t)<f(0)=0
即ln(1+t)-t/√(1+t)<0
也即ln(1+1/x)<1/√x(x+1)
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