Question

（2004年数学竞赛题）跪求求高手解答。有答案求过程

a方加b方加c方加d方等于10

那么（a-b)的平方加（a-c)的平方加（a-d)的平方加（b-c)的平方加（b-d)的平方加（c-d)的平方的最大值是
答案只写了是40
求解答过程

Answer 1

解：∵a2+b2+c2+d2=10，
∴y=（a-b）2+（a-c）2+（a-d）2+（b-c）2+（b-d）2+（c-d）2，
=a2+b2-2ab+a2+c2-2ac+b2+c2-2bc+b2+d2-2bd+c2+d2-2cd，
=3（a2+b2+c2+d2）-2ab-2ac-2ad-2bc-2bd-2cd，
=4（a2+b2+c2+d2）-（a+b+c+d）2，
=40-（a+b+c+d）2，
∵（a+b+c+d）2≥0，
∴当（a+b+c+d）2=0时，y的最大值为40．
故答案为：40．

追问

太感谢了
可是=3（a2+b2+c2+d2）-2ab-2ac-2ad-2bc-2bd-2cd，
我想不到下一步=4（a2+b2+c2+d2）-（a+b+c+d）2，怎么办

追答

3（a2+b2+c2+d2）-2ab-2ac-2ad-2bc-2bd-2cd
=3（a2+b2+c2+d2)+a2+b2+c2+d2-a2-b2-c2-d2 -2ab-2ac-2ad-2bc-2bd-2cd

Answer 2

(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2
=a^2+b^2-2ab+a^2+c^2-2ac+b^2+c^2-2bc+b^2+d^2-2bd+c^2+d^2-2cd
=3(a^2+b^2+c^2+d^2）-2ab-2ac-2ad-2bc-2bd-2cd
=4(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)^2
∵a2+b2+c2+d2=10，(a+b+c+d)^2≥0
∴（a-b)的平方加（a-c)的平方加（a-d)的平方加（b-c)的平方加（b-d)的平方加（c-d)的平方的最大值是40.