Question

已知数列{an}的通项公式an=1/(n+1)²， (n∈N),f(n)=(1-a1)(1-a2)…（1-an）

试通过计算f（1），f（2），f（3）的值。 推测出f（n）的值，并用数学归纳法证明

Answer 1

a1=1/4
f(1)=1-a1=3/4
a2=1/9
f(2)=3/4×8/9=2/6=1/3
a3=1/16
f(3)=1/3 × 15/16=5/16.
推导f(n)的值：
a(n)=1/(n+1)^2
设b(n)=1-a(n)
=1-1/(n+1)^2
=[(n+1)^2-1]/(n+1)^2
=n(n+2)/(n+1)^2

f(n)=b(1)×b(2)×...×b(n)
=1×3/2²× 2×4/3²×...× n(n+2)/(n+1)²
=[3/2×4/3×5/4×6/5×...×(n+1)/n]×(n+2)/(n+1)²
=(n+1)/2×(n+2)/(n+1)²
=(n+2)/[2(n+1)]

中学生数理化为你解答
求采纳

追问

f(2)=3/4×8/9=2/6=1/3
不是等于2/3吗？

追答

sorry，算错了，不过下面的没错

a1=1/4
f(1)=1-a1=3/4
a2=1/9
f(2)=3/4×8/9=2/3
a3=1/16
f(3)=2/3 × 15/16=5/8

推导f(n)的值：
a(n)=1/(n+1)^2

设b(n)=1-a(n)
=1-1/(n+1)^2
=[(n+1)^2-1]/(n+1)^2
=n(n+2)/(n+1)^2

f(n)=b(1)×b(2)×...×b(n)
=1×3/2²× 2×4/3²×...× n(n+2)/(n+1)²
=[3/2×4/3×5/4×6/5×...×(n+1)/n]×(n+2)/(n+1)²
=(n+1)/2×(n+2)/(n+1)²
=(n+2)/[2(n+1)]