Question

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，对任意a,b属于[-1,1]，当a+b不等于0时，都有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0

求飞（x）在区间[-1,1]上的单调性

Answer 1

f(x)在[-1,1]上单调递增。
证：任取x1,x2∈[-1,1],x1＜x2,则-x2∈[-1,1].由题设,因x1+(-x2)≠0,故[f(x1)+f(-x2)]/(x1+(-x2))＞0.
又由于f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,故f(-x2)= -f(x2).故[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)＞0.又x1-x2＜0,故f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).故f(x)在[-1,1]上单调递增.

Answer 2

任意x在区间[-1,1]上,-x也在区间[-1,1]
对于(f(a)+f(-b))/(a+(-b))>0
即(f(a)-f(b))/(a-b)>0 (1)
对于任意a>b a-b>0
结合(1)式 f(a)-f(b)>0 f(a)>f(b)
所以是f(x)在区间上是单调增函数

Answer 3

设(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，令a=x1,b=–x2.且得到[f(x1)减f(x2)]/(x1减x2)>0 .该式，说明函数的斜率＞0.即函数单增，