Question

已知函数f(x)=ax³+x²-ax 讨论函数g(x)=f(x)/x-lnx的单调区间

如果存在a∈【-2，-1】，使函数h(x)=f(x)+f'(x),x∈【-1，b】在x=-1除取到最小值，试求b的最大值

Answer 1

1
f(x)=ax³+x²-ax
g(x)=f(x)/x-lnx=ax²+x-a-lnx (x>0)
g'(x)=2ax+1-1/x=(2ax²+x-1)/x

当a=0时，g'(x)=(x-1)/x
g(x)增区间为(1,+∞),减区间(0,1)
当a>0时，
由g'(x)=0 即2ax²+x-1=0
解得x=[-1-√(1+8a)]/(4a)（舍去）或x=[-1+√(8a+1)]/(4a)
∴递减区间为(0, [-1+√(8a+1)]/(4a) )
递增区间为( [-1+√(8a+1)]/(4a) ),+∞)
当a<0时，
2ax²+x-1=0中 Δ=1+8a≥0 ==> a≥-1/8
∴-1/8<a<0时，
2ax²+x-1>0
解得 [-1+√(8a+1)]/(4a) <x< [-1-√(8a+1)]/(4a)
递增区间（ [-1+√(8a+1)]/(4a) ， [-1-√(8a+1)]/(4a) ）
递减区间为（0，[-1+√(8a+1)]/(4a)），（ [-1-√(8a+1)]/(4a) ，+∞）

当a≤-1/8时，Δ≤0，g'(x)≤0恒成立
递减区间为(0,+∞)

2
h(x)=f(x)+f'(x)=ax³+x²-ax +3ax²+2x-a
=ax³+(3a+1)x²+(2-a)x-a
据题知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
∴ax³+(3a+1)x²+(2-a)x-a≥-a+(3a+1)+a-2-a
ax³+(3a+1)x²+(2-a)x+1-3a≥0
分解即：（x+1）（ax2+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
当x=-1时，不等式①成立；
当-1＜x≤b时，x+1>0
不等式①可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令k（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），
∵a∈[-2，-1]∴k(x)图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又k(-1）=-4a＞0，
∴②成立的充要条件是k（b）≥0，
即 ab²+(2a+1)b+1-3a≥0
∴a(b²+2b-3)+b+1≥0
∵b>-1,b+1>0
即 a(b²+2b-3)/(b+1)≥-1
∴(b²+2b-3)/(b+1)≤-1/a
∵a∈[-2，-1]，∴-1/a∈[1/2,1]
又对于a存在即可
∴(b²+2b-3)/(b+1)≤1
∵b+1>0
∴b²+b-4≤0
解得(-1-√17)/2≤b≤(-1+√17)/2
即b的√最大值为(-1+√17)/2

就这样吧，应该没问题，不清楚的地方，请追问

Answer 2

（1）g'(x)=2ax+1-1/x，注意到g'(x)是个奇函数，只要讨论x>0即可。对于x<0的部分，对称过去，然后取负号即可。

当a>=1/8时，x>0时，g'(x)>=0；x<0时，g'(x)<=0。
当0<a<1/8时，0<x<(1-√(1-8a))/4a时，g'(x)>=0；(1+√(1-8a))/4a<x时，g'(x)>=0；当中的时候g'(x)<0。
当a=0时，x>=1时，g'(x)>=0；0<x<1时，g'(x)<0。
当a<0时，0<x<(1-√(1-8a))/4a时，g'(x)>=0；x>(1-√(1-8a))/4a时，g'(x)<0。

（2）h'(x)=3ax²+(6a+2)x+(2-a)。

a<0，故抛物线开口向下，h'(-1)=-4a>0。

后来求下右侧根的最大值即可，我的结果是b=(-2+√13)/3。