Question

已知函数g（x）=x/lnx,f（x）=g（x）-ax.①求函数g（x）的单调区间； ②若函数f（

已知函数g（x）=x/lnx,f（x）=g（x）-ax.①求函数g（x）的单调区间；
②若函数f（x）在（1+∞）上是减函数，求实数a的最小值

Answer 1

（1）g(x)=x/lnx，x∈(0,1)∪(1,+∞)
g'(x)=(lnx -x·1/x)/ln²x=(lnx -1)/ln²x<0,得x∈(0,1)∪(1,e)
∴g(x)在(0,1)和(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增。
（2）f(x)=g(x)-ax=x/lnx-ax,x∈(0,1)∪(1,+∞)
f'(x)=(lnx -x·1/x)/ln²x - a =(-aln²x+lnx -1)/ln²x .
f(x)在(1，+无穷)上是减函数，则f'(x)=(-aln²x+lnx -1)/ln²x ≤0在（1，+∞）上恒成立。
∵在（1，+∞）上，lnx>0,
设t=lnx,
∴关于t的函数F(t)=at²-t+1≥0对t∈（0，+∞）恒成立，
∵a>0,F(0)=1>0
∴对称轴x=1/(2a)>0
∴△=1-4a≤0,得a≥1/4.
综上，a≥1/4，即a的最小值为1/4

追问

第一问的e怎么来的？

追答

lne=1