Question

请用函数单调性的数学定义说明函数f(x)=sinx的单调性

忘了说明定义域区间：(-π/2，π/2）。

Answer 1

函数单调性定义：若f(x)定义域是(a,b),若对于任意的x1,x2,a<x1<x2<b,恒有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),则说这个函数在定义域内是单调递增(单调递减)的。

设-π/2=<x1<x2<=π/2
则f(x2)-f(x1)
=sinx2-sinx1
差化积
=2sin((x2-x1)/2)cos((x2-x1)/2)
因为x2>x1,所以x2-x1>0,sin((x2-x1)/2)>0
因为-π/2=<x1<x2<=π/2，所以-π/2=<(x2-x1)/2<=π/2
所以cos((x2-x1)/2)>0
于是有f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)在区间[-π/2,π/2]恒成立
所以函数f(x)=sinx在区间[-π/2,π/2]上是增函数

同理可证，f(x)=sinx在区间[π/2,3π/2]上是减函数
因为f(x)=sinx具有周期性
所以f(x)的单调增区间是[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
单调减区间是[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]

Answer 2

这个貌似我初中最拿手的东东，现在忘干净了
-π／2≤x≤π／2时 f（x）＝〔-1，1〕 单调递增
π／2<x<π3／2时 f（x）＝（1，-1） 单调递减

π3／2-（-π／2）＝2π
sin(x)的周期是2π

因此f（x）在所有半闭区间〔n·2π-π／2，n·2π+π／2〕上单调递增。
f（x）在所有半开区间（n·2π+π／2，n·2π+π3／2）上单调递减。

n＝任意整数

Answer 3

“函数单调性定义：若f(x)定义域是(a,b),若对于任意的x1,x2,a<x1<x2<b,恒有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),则说这个函数在定义域内是单调递增(单调递减)的。

设-π/2=<x1<x2<=π/2
则f(x2)-f(x1)
=sinx2-sinx1
差化积
=2sin((x2-x1)/2)cos((x2-x1)/2)
因为x2>x1,所以x2-x1>0,sin((x2-x1)/2)>0
因为-π/2=<x1<x2<=π/2，所以-π/2=<(x2-x1)/2<=π/2
所以cos((x2-x1)/2)>0
于是有f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)在区间[-π/2,π/2]恒成立
所以函数f(x)=sinx在区间[-π/2,π/2]上是增函数”

请问在上述证明中：因为x2>x1,所以x2-x1>0,sin((x2-x1)/2)>0
怎么说明？