Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°

AB=2，BC=1，AA1= 根号3
（Ⅰ）证明：A1C⊥平面AB1C1；
（Ⅱ）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1，试证明你的结论．

Answer 1

(1)证明：

因为：∠ACB=90°，AB=2，BC=1，

所以：AC=√ 3

而AA1=√3

因为：三棱柱是直三棱柱

所以：侧棱垂直上下两个面

所以：AA1⊥AC，AA1⊥A1C1，CC1⊥BC

所以：四边形ACC1A1是正方形

所以：AC1⊥A1C

由CC1⊥BC ，AC⊥BC知：BC⊥面ACC1A1

而：B1C1∥BC

所以：B1C1⊥面ACC1A1

又：A1C在面ACC1A1上

所以：B1C1⊥A1C

所以：A1C⊥面AB1C1

(2)存在

这个点就是AB的中点，取AC的中点M，BB1的中点N，

因为：平面EM∥BC，DN∥BC

所以：ME∥DN

所以：M，E，N，D四点在共面

因为：EN∥AB1，MD∥AC1且由DN=BC>ME值EN于MD相交，B1A又与C1A相交

所以：平面ENDM∥平面AB1C1

而：DE在平面ENDM上

所以：DE∥面AB1C1

Answer 2