Question

求下列函数的定义域和值域

⑴y=1／（2^x-1）⑵y=（1／3）^（2x^2-2）⑶y=（1／2）^（1／x）⑷y=（1／2）^根号下（-x^2+x+2）⑸y=（1／2）^（x-1）／（x+1）⑹y=2^x／（1+2^x）

Answer 1

⑴y=1／（2^x-1）
∵2^x-1≠0,x≠1
∴定义域为(-∞,0)U(0,+∞)
∵0<2^x<1或2^x>1
∴-1<2^x-1<0或2^x-1>0
∴1/(2^x-1)<-1或2^x-1>0
即函数的值域为(-∞,-1)U(0,+∞)

⑵y=（1／3）^（2x^2-2）
定义域为R
分子t=2x^x-2≥-2
∴0<y=(1/3)^t≤(1/3)^(-2)=9
∴值域为(0,9]

⑶y=（1／2）^（1／x）
定义域为(-∞,0)U(0,+∞)
分子t=1/x≠0,
∴y=(1/2)^t≠1
函数值域为(0,1)U(1,+∞)

⑷y=（1／2）^根号下（-x^2+x+2）

-x^2+x+2≥0解x^2-x-2≤0
解得定义域为[-1,2]
t=√(-x²+x+2)=√[-(x-1/2)²+9/4] ∈[0,3/2]
∴y=(1/2)^t∈[√2/4,1]
即值域为[√2/4,1]

⑸y=（1／2）^[（x-1）／（x+1）]
x+1≠0定义域为(-∞,-1)U(1,+∞)
t=(x-1)/(x+1)=[(x+1)-2]/(x+1)=1-2/(x+1)≠1
∴y=(1/2)^t≠1/2
∴函数值域为(0,1/2)U(1/2,+∞)

⑹y=2^x／（1+2^x）
定义域为R
y=[(2^x+1)-1]/(2^x+1) =1-1/(2^x+1)
∵2^x>0,2^x+1>1
∴0<1/(2^x+1)<1
∴-1<1-1/(2^x+1）<0
即函数值域为(-1,0)