设0≤θ≤π/2,函数y=(1/sinθ-1)(1/cosθ-1),求函数的值域
展开全部
∵0≦θ≦π/2,∴函数的定义域是(0,π/2),∴0≦θ/2≦π/4,∴sin(θ/2)、cos(θ/2)不等。
∴y
=(1-sinθ)(1-cosθ)/(sinθcosθ)
=[cos(θ/2)-sin(θ/2)]^2×2[sin(θ/2)]^2/[2sin(θ/2)cos(θ/2)cosθ]
=sin(θ/2)[cos(θ/2)-sin(θ/2)]/{cos(θ/2)[cos(θ/2)+sin(θ/2)]
=tan(θ/2)[1-tan(θ/2)]/[1+tan(θ/2)]。
令tan(θ/2)=x,则:
y=x(1-x)/(1+x),∴y+yx=x-x^2,∴x^2+(y-1)x+y=0。
显然,x是实数,∴需要:(y-1)^2-4y≧0,∴y^2-6y≧-1,∴(y-3)^2≧8,
∴y-3≦-2√2,或y-3≧2√2,∴y≦3-2√2,或y≧3+2√2。
∴函数的值域是(-∞,3-2√2]∪[3+2√2,+∞)。
∴y
=(1-sinθ)(1-cosθ)/(sinθcosθ)
=[cos(θ/2)-sin(θ/2)]^2×2[sin(θ/2)]^2/[2sin(θ/2)cos(θ/2)cosθ]
=sin(θ/2)[cos(θ/2)-sin(θ/2)]/{cos(θ/2)[cos(θ/2)+sin(θ/2)]
=tan(θ/2)[1-tan(θ/2)]/[1+tan(θ/2)]。
令tan(θ/2)=x,则:
y=x(1-x)/(1+x),∴y+yx=x-x^2,∴x^2+(y-1)x+y=0。
显然,x是实数,∴需要:(y-1)^2-4y≧0,∴y^2-6y≧-1,∴(y-3)^2≧8,
∴y-3≦-2√2,或y-3≧2√2,∴y≦3-2√2,或y≧3+2√2。
∴函数的值域是(-∞,3-2√2]∪[3+2√2,+∞)。
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询