Question

已知函数f(x)=x+a^2/x,g(x)=x+lnx，其中a>0,F(x)=f(x)+g(x).

(1)若X=1/2是函数y=F(X)的极值点，求实数a的值
（2）若函数y=F(x)(x∈（0,3】）的图像上任意一点处切线的斜率K≤5/2恒成立，求实数a的取值范围
要详细过程，谢谢！！

Answer 1

解：(1)F(X)=x+a/x-3+x+lnx
F导数(x)=1-a^2/x^2+1+1/x=1/x-a^2/x^2+2
∴2-4a^2+2=0,∵a＞0
∴a=1
（2）F′(x)=1-a^2/x^2+1+1/x=1/x-a^2/x^2+2对任意的x∈（0，3]恒成立
∴2a2≥-x2+2x对任意的x∈（0，3]恒成立，
∴2a2≥（-x2+2x）max，而当x=1时，-x2+2x=-（x-1）2+1取最大值为1，
∴2a2≥1，且a＞0，∴a≥根号2/2

Answer 2

(1)a=1/2 第一小题不用说了
（2）先求导，K=那条求导式，又因为K≤5/2，即能求得h(x）=x² 2-2x+4a≥0。但此处要分情况；这属于定区间动轴问题，轴在0的左边则h(0)≥0；轴在中间则△＜0；轴在3右边则h(3)≥0；最后求交集即可。