Question

已知双曲线的焦点在x轴上,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为√2

已知双曲线的焦点在x轴上,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为√2写出双曲线的实轴长，虚轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程

Answer 1

解：设双曲线方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a、b>0。
两个顶点间距离为2a。
由已知，2a=2，故a=1。实轴长为2a=2。

设双曲线的焦点为(±c, 0)，其中c>0，c^2=a^2+b^2=b^2+1。
渐进线方程为 y=±b/a * x=±b * x。倾角大小为α=arctan (b/a)=arctan b。
焦点到渐进线的距离为：d=c*sin α=c*b/√[1+b^2]=b，
由于d=√2，所以b=√2。所以c=√3。

故虚轴长为2b=2√2。
焦点坐标为(±√3, 0)。
离心率e=c/a=√3。
渐近线方程y=±b * x=±√2 * x。

Answer 2

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