Question

设P（x，y）为圆x2+(y_1)2=1上任意一点,欲使不等式x+y+m大于等于0恒成立,求m的取值范围

Answer 1

点P（x，y）在圆x2+(y-1)2=1上，设P(cosa，1+sina）由x+y+m≥0恒成立，即m≥-（x+y）恒成立，即m≥-（cosa+1+sina）恒成立，即m≥-（cosa+sina）-1恒成立，即-（cosa+sina）-1的最大值√2-1，即m≥√2-1恒成立

Answer 2

解：
x＋y＋m≧0 →x＋y≧-m恒成立
∴-m只需小于等于x＋y的最小值。现在转化为求x＋y的最小值！
不妨设出一条直线x＋y＝0
设圆上任意一点(x，y)
则点(x，y)到该直线的距离是d＝|x＋y|/√2
进而转化成求距离d的最小值
在同一坐标系里画出圆和该直线图像
作直线x＋y＝0的垂直平分线(过圆心)
易得该直线方程为y＝x＋1
则先前设的点(x，y)就是直线y＝x＋1与圆的交点
联立两方程得该交点为(-√2/2，-√2/2＋1)
∴x＋y的最小值为-√2/2＋(-√2/2＋1)＝1-√2
∴-m≦1-√2
∴m≧√2-1
如果答案不对，请谅解！

Answer 3

令x+y=a,即x=a-y代入圆方程，得
2y²－（2a＋2）y＋a²＝0
由判别式≥0可得
4a²＋8a＋4－8a²≥0
1－√2≤a≤1＋√2
即-1－√2≤－（x＋y）≤-1＋√2
∴m≥－1＋√2
m的取值范围是：(-∞,-1+√2)

Answer 4