Question

已知圆x^2+(y-1)^2=2上任一点P(x,y),其坐标均使得不等式x+y+m大于等于0，恒成立则实数m的取值范围是

Answer 1

+y+m>=0恒成立可以化为m>=-(x+y)恒成立
只需要m大于等于-（x+y)的最大值就可以了
因此本题转化为求x+y的取值范围问题

令x+y=a,即x=a-y代入圆方程，得
2y²－（2a＋2）y＋a²＝0
由判别式≥0可得
4a²＋8a＋4－8a²≥0
1－√2≤a≤1＋√2
即-1－√2≤－（x＋y）≤-1＋√2
∴m≥－1＋√2

Answer 2

x+y+m≥0
即 m≥-(x+y)
从而 m≥[-(x+y)]max
令 c=x+y，由于 P(x，y)在圆上，从而直线x+y-c=0与圆x²+(y-1)²=2有交点，
即圆心(0，1)到直线x+y-c=0的距离小于或等于半径√2,
所以 |1-c|/√2≤√2，|1-c|≤2，-1≤c≤3
即 -1≤x+y≤3
所以 -3≤-(x+y)≤1
从而 m≥[-(x+y)]max=1
即 m≥1