Question

速求！如图所示，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且AD=1/3DB，点 C为圆O上一点，且BC=√3AC

点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD（1）求证：CD⊥平面PAB（2）求点D到平面PBC的距离

Answer 1

第一题：
∵AB是直径，C是圆上一点，那么∠ACB是直角。 又∵BC=√3AC ∴∠ABC=30 ∴∠BAC=60 AC=1／2AB=2 又∵AD=1／4=1 ∴∠ACD=30 因此可以推出∠ADC=180-∠BAC-∠ACD=90 ∴CD⊥AB 而D是P的正投影，所以PD⊥AB ,因此可以推出，CD⊥平面PAB
第二题：
在直角ΔACB中，AB=4 AC=2 因此BC=2√3 故可以推出ΔACB的高CD=√3 而在直角ΔPDC中，PD=BD=3 CD=√3 所以PC=2√3 在直角ΔPDB中，PD=BD=3,∴PB=3√2
因为 PC=BC=2√3 所以ΔPCB是等腰三角形。
在ΔPDB中，从C点出发，做边PB的高。即是PB的中点E，连接DE。∵ΔPDB也是等腰三角形，∴DE⊥PB 又∵CE⊥PB。∴DE⊥平面PBC,即DE 就是D点到平面PBC的距离。 根据边PD=3=BD 可以推出DE=3√2／2