Question

求抛物线y^2=2px(p>0)上各点与焦点连线中点的轨迹方程。

Answer 1

设 y^2=2px 任意点 (m, n)
焦点(p/2, 0)

与焦点连线中点 ( (m+p/2)/2, n/2 )

所以轨迹满足
x = (m+p/2)/2
y = n/2

整理成
2x - p/2 = m
2y = n

因
n^2 = 2p *m
第一式 * 2p, 　第二式平方， 有
4y^2 = 2p * (2x - p/2)

y^2 = px - p/4

　

追问

轨迹满足 x = (m+p/2)/2 y = n/2 这部怎样来的，没看懂，谢谢解答！

追答

轨迹上的任意一点(x, y)
都是y^2=2px(p>0)上各点与焦点连线中点

自己当然等于自己呀，所以(x, y) 就等于( (m+p/2)/2, n/2 )了

最后有个打字错误，在这里纠正了
y^2 = px - p^2/4

追问

额，懂了

Answer 2

焦点（p/2，0）
设M(a,b)是抛物线y^2=2px上一点
中点为Q(x,y), x=(a+p/2)/2, y=b/2
b=2y, a=2x-p/2代入抛物线y^2=2px方程得：
(2y)²=2p(2x-p/2)
化简得中点的轨迹方程为：y²=px-p²/4