Question

在三角形ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c且(a+b+c)*(b+c-a)=3bc,若B=105度,c=4，则b=?

Answer 1

(a+b+c)*(b+c-a)=3bc
(b+c+a)(b+c-a)=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
b^2+2bc+c^2-a^2=3bc
b^2+c^2-a^2=bc
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
=bc/2bc
=1/2
∵A<180
∴A=60
C=180-A-B=180-60-105=15
c/sinC=b/sinB
b=csinB/sinC
=4sin105/sin15
=4sin(90+15)/sin15
=4cos15/sin15
=4/tan15
=4/tan(45-30)
=4(1+tan45tan30)/(tan45-tan30)
=4(1+√3/3)/(1-√3/3)
=4(3+√3)/(3-√3)
=4(3+√3)^2/(9-3)
=2(9+6√3+3)/3
=2(3+2√3+1)
=8+4√3

Answer 2

将已知等式乘开，（a+b+c）(b+c-a)=(b+c)^2-a^2=b^2+c^2-a^2+2bc=3bc
然后我们可以由这个式子知道（b^2+c^2-a^2）/(2bc)=1/2由余弦定理我们知道CosA=1/2所以A=60°
B=105°，所以C=15°；由正弦定理b=(sinB/sinC) c=4(sin105°/sin15°)=4cot15°

Answer 3

由(a+b+c)*(b+c-a)=3bc,化简可以得到COSA=1/2,所以∠A=60°，接下来再用正弦定理去求b就可以了