Question

已知一平面方程 求该方程法向量 如何求？求详解

Answer 1

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，则其法向量为(A/√(A²+B²+C²),B/√(A²+B²+C²),C/√(A²+B²+C²))。

设平面上任意两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)，满足方程：Ax1+By1+Cz1+D=0，Ax2+By2+Cz2+D=0

则PQ的矢量为(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，该矢量满足A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0。即矢量PQ⊥矢量(A,B,C)

换言之，平面上任意直线都垂直于矢量(A,B,C)，说明矢量(A,B,C)垂直于该平面，单位化后即为该平面的法向量。

扩展资料

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

参考资料：百度百科法向量

Answer 2

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，则其法向量为(A/√(A²+B²+C²),B/√(A²+B²+C²),C/√(A²+B²+C²))

追问

证明?理由？

追答

设平面上任意两点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)，满足方程：
Ax1+By1+Cz1+D=0
Ax2+By2+Cz2+D=0
则PQ的矢量为(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，该矢量满足
A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0
即矢量PQ⊥矢量(A,B,C)
换言之，平面上任意直线都垂直于矢量(A,B,C)，说明矢量(A,B,C)垂直于该平面，单位化后即为该平面的法向量

Answer 3

ax by cz d=0法向量为(a,b,c)