Question

求计算这个积分，过程越详细越好？

Answer 1

分享一种解法，借用“X~N(0,1)的密度函数的性质”求解。
∵X~N(0,1)，其密度函数f(x)=[1/√(2π)]e^(-x²/2)，x∈R，∴有∫(-∞,∞)f(x)dx=1。∴∫(0,∞)f(x)dx=(1/2)√(2π)。
∴原式=√(π/2)。
供参考。

Answer 2

令A=∫(0,+∞) e^(-u^2/2)du
A^2=∫(0,+∞) e^(-u^2/2)du*∫(0,+∞) e^(-u^2/2)du
=∫(0,+∞) e^(-u^2/2)du*∫(0,+∞) e^(-v^2/2)dv
=∫∫(u>0,v>0) e^(-u^2/2)*e^(-v^2/2)dudv
=∫∫(u>0,v>0) e^[-(u^2+v^2)/2]dudv
令u=rcosθ，v=rsinθ
A^2=∫(0,π/2)dθ*∫(0,+∞) e^(-r^2/2)*rdr
=(π/2)*∫(0,+∞) -e^(-r^2/2)*d(-r^2/2)
=(π/2)*[-e^(-r^2/2)]|(0,+∞)
=(π/2)*[0-(-1)]
=π/2
因为e^(-u^2/2)>0，所以A>0
即A=√(π/2)