Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为Y轴，点A（m,2）在抛物线山，A点到抛物线焦点的距离为17/8.

（1）求抛物线C的方程及m值；（2）若过点M（-1，2/5）的直线L与抛物线C相交于A、B两点，P点坐标为）（1,2），求证：向量PA乘以向量PB为定值

Answer 1

（1）设C的方程为x²=2py，（p>0）其焦点为(0,p/2)；
将A(m,2)代入C得：m²=4p；
由AP=17/8，即 m²+(2-p/2)²=(17/8)²；
以上两式联解得：p=1/4，m=±1；
C方程：x²=y/2；
（2）设过点M(-1,5/2)的直线L方程：y=k(x+1)+5/2，其与抛物线C的交点A(a,2a²)、B(b,2b²)；
向量PA=(a-1,2a²-2)，向量PB=(b-1,2b²-2)；
向量PA•PB=(a-1)(b-1)+(2a²-2)(2b²-2)=4(ab)²-4(a+b)²+9ab-(a+b)+5；
将L代入C得：x²=k(x+1)/2+5/4，
此二次方程的两根满足：a+b=k/2，a*b=-k/2-5/4
所以 向量PA•PB=4(-k/2-5/4)²-4(k/2)²+9(-k/2-5/4)-(k/2)+5=0，即PA⊥PB；
（题给M点坐标(-1,2/5)可能打字有误，应为(-1,5/2)）；