Question

将连续的自然数1-1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，

要使这个正方形框出的16数之和分别等于：（1）1998 （2）1999 （3）2000 （4）2080.这是否可能？若不可能试说明理由，若可能，请写出该方框16个数中的最小数与最大数．

Answer 1

解：设最小数为x,则16个数之和:
16x+(0+1+2+3)+(7+8+9+10)+(14+15+16+17)+(21+22+23+24)=16x+192=16(x+12)，16的倍数。
(1)1998÷16不是整数, ，即不可能
（2）1999也不能被16整除，所以也不可能
（3）2000÷16=125，x=125-12=113,。可能，最小数x=113，最大数x+24=137
（4）2080÷16=130，x=130-12=118.。可能，最小数x=130，最大数x+24=154

Answer 2

这16个数和为
n＋n＋1＋n＋2＋n＋3＋n＋7＋n＋8＋n＋9＋n＋10＋n＋14＋n＋15＋n＋16＋n＋17＋n＋21＋n＋22＋n＋23＋n＋24＝16n＋192
n为正整数，且n＝(行数－1)×7＋1或n＝(行数－1)×7＋2或n＝(行数－1)×7＋3或n＝(行数－1)×7＋4
行数为1-140
1001÷7－3＝140

∵(1998－192)÷16＝112.875
∴1998不可能是正方形框出的16数之和。

∵(1999－192)÷16＝112.9375
∴1999不可能是正方形框出的16数之和。

∵(2080－192)÷16＝118
∴118应该是正方形框中左上角的数字。
但是118÷7＝16……6
∵118是第17行第6个数字，不可能成为正方形框中左上角的数字。
∴2080不可能是正方形框出的16数之和。

(2000－192)÷16＝113
113÷7＝16……1
113为17行第一个数字。
∴2000可以是正方形框出的16数之和。
最小数字为113，最大数字为113＋24＝137