Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．

若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值

Answer 1

分析：以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
AB
=（-a，
3
a，0），
BC
=（-a，0，0），
AP
=（-a，0，a），
PC
=（-a，
3
a，-a）．从而得到平面PAB的法向量
n
=（3，
3
，3）．同理，求得平面PBC的一个法向量为
m
=（0，-1，-
3
）．由此能求出二面角A-PB-C的余弦值

解：以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
A（a，0，0），B（0，
3
a，0），C（-a，
3
a，0），P（0，0，a），

AB
=（-a，
3
a，0），
BC
=（-a，0，0），

AP
=（-a，0，a），
PC
=（-a，
3
a，-a）．
设平面PAB的法向量为
n
=（x，y，z），
得
-ax+3ay=0-ax+az=0

设y=
3
，则x=z=3，
得
n
=（3，
3
，3）．
同理，可求得平面PBC的一个法向量为
m
=（0，-1，-
3
）．
所以cos＜
m
，
n
＞=
m•n|m|•|n|
=-
277
．
由图形知，二面角A-PB-C为钝角，
因此二面角A-PB-C的余弦值是-
277

Answer 2

（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，
可得BD⊥PD，
所以BD⊥平面PAD，
故 PA⊥BD。
（Ⅱ）解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则
，

设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则，
即，因此可取n=，
设平面PBC的法向量为m，则，
可取m=（0，-1，），
∴，
故二面角A-PB-C的余弦值为。

Answer 3

分析：以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
AB
=（-a，
3
a，0），
BC
=（-a，0，0），
AP
=（-a，0，a），
PC
=（-a，
3
a，-a）．从而得到平面PAB的法向量
n
=（3，
3
，3）．同理，求得平面PBC的一个法向量为
m
=（0，-1，-
3
）．由此能求出二面角A-PB-C的余弦值

解：以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
A（a，0，0），B（0，
3
a，0），C（-a，
3
a，0），P（0，0，a），

AB
=（-a，
3
a，0），
BC
=（-a，0，0），

AP
=（-a，0，a），
PC
=（-a，
3
a，-a）．
设平面PAB的法向量为
n
=（x，y，z），
得
-ax+3ay=0-ax+az=0

设y=
3
，则x=z=3，
得
n
=（3，
3
，3）．
同理，可求得平面PBC的一个法向量为
m
=（0，-1，-
3
）．
所以cos＜
m
，
n
＞=
m•n|m|•|n|
=-
277
．
由图形知，二面角A-PB-C为钝角，
因此二面角A-PB-C的余弦值是-
277
．…（12分）

Answer 4

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：... - 高中数学 - 菁优网
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