Question

如何证明根号2加根号3再加根号5是无理数

Answer 1

反证法：
若根号2加根号3是分数（即整数与整数的比）
或说是有理数吧
则平方以后也应是有理数
即5+2根号6也是有理数
即根号6是有理数
显然根号6只能是分数,不妨设此分数约至最简时为b/a
则a,b互质,否则还可约
6=b^2/a^2
即b^2=6a^2
所以b^2为6的倍数（即为2,3的倍数）
所以b为2,3的倍数（即为6的倍数）
所以b^2为36的倍数,即6a^2为36的倍数
推得a^2被6整除,矛盾于a,b互质
因此根号6是无理数,
即根号2加根号3是无理数
同理再加一个根号5也是一样的过程一样的结果

Answer 2

设a=√2+√3+√5>0是有理数
则a-（√2+√3）=√5
两边平方
[a-（√2+√3）]^2=5
是有理数
所以a^2+2+3-2a（√2+√3)+2√6=5
1）
==》
-a（√2+√3)+√6
为有理数
平方得到
a^2(2+3+2√6)+6-2a√3-3a√2为有理数
2）
==》1）-2）得到
(2-2a^2)√6+a√2为有理数
平方
==>
a(1-a^2)√3为有理数
==>a=1,显然矛盾