Question

求不等式ax²-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件

Answer 1

解：
本题要讨论求解；
1）当a=0时，原不等式为：
1>0，显然这是恒成立的；因此当a=0时，关于x的不等式恒有：
ax²-ax+1>0成立；
2）当a>0时，原不等式为：
ax²-ax+1
=a(x²-x+1/a)
=a(x²-x+1/4-1/4+1/a)
=a(x-1/2)² - a/4+1>0
即：
a(x-1/2)² > a/4 -1
∵a>0，则上述不等式为：
(x-1/2)² >1/4 - 1/a

上述不等式对于x∈R恒成立，而(x-1/2)²≥0，因此，只能是：
1/4 - 1/a < 0

即：(a-4)/4a < 0
因此：
a<4
即：0<a<4
3)当a<0时：
ax²-ax+1

=a(x-1/2)² - a/4+1>0
即：
a(x-1/2)² > a/4 -1
∵a<0，
∴(x-1/2)² < 1/4 - 1/a，关于x恒成立，
显然这是不可能成立的，因为不管a为何值，总存在x取值大于1/4 - 1/a

综上：
不等式ax²-ax+1>0恒成立的a的充要条件是：
0≤a<4

Answer 2

ax²-ax+1>0

a(x-1/2)²+1-a/4>0
1.当a≥0时:
1-a/4>0

a<4
∴0≤a<4
2.当a<0时:
(x-1/2)²<1/4-1/a
∵(x-1/2)²∈[0,∞)
∴不成立

因此，0≤a<4

Answer 3

题目为一多项式不等式问题：

1、当a=0 显然满足不等式恒大于0；
2、a≠0时，为二次不等式问题
要保证不等式恒大于0，则显然要求二次不等式系数为正，且二次曲线与x轴无交点。即判别式小于0
△=a²-4a<0
综合可知： 0=<a<4，

Answer 4

原式可以化为 a(x-1/2)^2+1-a/4>0 下面分类讨论
当a小于0时，显然是不能成立的
当a=0时。原式为 1>0，所以 一切实数x都成立
当a大于0，则a(x-1/2)^2最小为0，此时考虑 1-a/4>0
所以 0<a<4 则 当 0<a<4时 对于一切x都成立。
而当a≥2时，当然也不不能成立的。
综上所述：当0≤a<4时，不等式ax²-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件

希望对你有帮助，望采纳

Answer 5

a(x-1/2)^2+1>0,对于1一切实数x都成立的充要条件是a>0.

追问

求过程，悬赏升了，这点要求不过分吧，不对，您错了，0<=a<4

追答

原式＝a(x-1/2)^2-a/4+1>0,
即， a(x-1/2)^2-(a-4)/4>0.
欲使上述不等式对于一切实数x都成立的充要条件是：
a≥0,
(a-4)/4a<4.
故符合题设要求的充要条件为“0≤a<4"

Answer 6

方程式可变为a（x-1/2）^2-a/4+1>0
及（x-1/2）^2>-1/a+1/4(a不等于0)，（a=0时不等式恒成立）
对于一切实数X恒成立及（x-1/2）^2>=0,及-1/a+1/4<0,
得出a<4，-1/a<0(及a>0),故答案为0<=a<4