Question

函数f（x）对任意的实数m，n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时有f（x）＞0

(1)求证f（x）在R上为增函数
（2）若f（1）=1，解不等式f[log2(x-2)]＜2

Answer 1

（1）定义域为R
因为函数f（x）对任意的实数m，n有f（m+n）=f（m）+f（n）
所以f(0)=f（0+0）=f（0）+f（0），可得f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0，所以f(-x)=-f(x)
所以函数f（x）是奇函数，根据奇偶性与单调性的关系，只讨论（0，+∞）时的情况
令0<x1<x2，则x2-x1>0，
因为当x＞0时有f（x）＞0
所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在（0，+∞）上单调递增
根据奇函数与单调性的关系，由当x＞0时有f（x）＞0，f(0)=0，可得
f（x）在R上为增函数

（2）由f（1）=1，函数f（x）对任意的实数m，n有f（m+n）=f（m）+f（n）
可得：f(2)=2.
所以不等式f[log2(x-2)]＜2可转化为f[log2(x-2)]＜f(2)

由于f（x）在R上为增函数，所以log2(x-2)<2
所以x-2<2^2，且x-2>0，
解得:2<x<6

Answer 2

（1）令m=x n>0
则 x+n>x
因为 f（m+n）=f（m）+f（n），
所以 f(x+n)=f(x)+f(n)
因为n>0 所以f(n)>0
所以 f(x+n)>f(x)
所以 f（x）在R上为增函数
（2）令m=n=1
所以f(2)=2f(1)=2
f[log2(x-2)]＜2=f(2)
所以 log2(x-2)<2=log2(4)
所以 0<x-2<4
2<x<6
不等式解集为（2,6）