Question

高中数学 三角形的定理及证明过程

Answer 1

是指三角形正余弦定理吗？
在三角形ABC中，角A,B,C所对着的边分别为a,b,c
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆的半径)
证明：如图,在锐角△ABC中,设AB⊥CD
CD=a·sinB
CD=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
也可以在圆中去证明也可以用等面积法
余弦定理：
c^2=a^2+b^2-2abCosC（同理三个，也有表示角的其实都一样）
平面向量证法：
∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
（以上粗体字符表示向量）
又∵Cos(π-θ)=-CosC
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
向左转|向右转