Question

在矩形ABCD 中，AB=√2,BC=2 E点 为 BC的中点，点F在CD边上，且向量DC=√2向量DF，则向量AE*向量BF？

Answer 1

由题意，|AB|=sqrt(2)，|BC|=2
AE=AB+BE=AB+BC/2
BF=BC+CF=BC-FC，又：|DF|=|DC|sqrt(2)/2=1，故：|FC|=|DC|(sqrt(2)-1)/sqrt(2)
=(1-sqrt(2)/2)|DC|，故：BF=BC-FC=BC-(1-sqrt(2)/2)AB
故：AE dot BF=(AB+BC/2) dot (BC-(1-sqrt(2)/2)AB)=AB dot BC+|BC|^2/2
-(1-sqrt(2)/2)|AB|^2-(1-sqrt(2)/4)AB dot BC，因：AB dot BC=0
故：AE dot BF=|BC|^2/2-(1-sqrt(2)/2)|AB|^2=2-2(1-sqrt(2)/2)=sqrt(2)