Question

已知f(x)=1+log2x(1<=x<=4)，函数g(x)=[f(x)]^2+f(x^2), 求y=g(x)的定义域和值域

Answer 1

解：f（x）的定义域为［1，4］
那么［f（x）］∧2的定义域也为［1，4］
f（x∧2）的定义域为1≦x∧2≦4即x∈［-2，-1］∪［1，2］
那么g（x）的定义域则为f（x）与f（x∧2）定义域的交集！
因此g（x）的定义域是［1，4］∩｛［-2，-1］∪［1，2］｝＝［1，2］

因为f（x）是增函数，显然f（x∧2）也是增函数，［f（x）］∧2也为增函数！所以g（x）是增函数！（增函数加增函数还是增函数）
于是g（x）min＝g（1）＝1＋1＝2
g（x）max＝g（2）＝2∧2＋3＝7
所以g（x）的值域为［2，7］

Answer 2

∵f(x)=1+log2x(1<=x<=4)
∴f(x)的定义域为[1,4]
函数g(x)=[f(x)]^2+f(x^2)有意义
则1≤x≤4且1≤x²≤4
解得:1≤x≤2
∴g(x)的定义域为[1,2]

g(x)=[f(x)]^2+f(x^2)
=(1+log₂x)²+1+log₂x²
=log²₂x+2log₂x+1+2log₂x
=log²₂x+4log₂x+1
设t=log₂x,x∈[1,2],t∈[0,1]
∴g(x)=y=t²+4t+1=(t+2)²-3
函数y在[0,1]上为增函数
∴t=0时,ymin=1,t=1时，ymax=6
∴函数的值域为[1,6]

Answer 3