Question

一个三角形斜边的中线等于斜边的一半能不能证它为直角三角形

Answer 1

【证明题一般是不允许的，你可在填空和选择题中利用】
【直角三角形斜边中线等于斜边的一半逆命题】
【如果三角形的一边中线等于该边长的一半，那么三角形为直角三角形。】
设在△ABC中，AD为BC边的中线，且AD=1/2BC，求证：△ABC为直角三角形。
【证法1】
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD=1/2BC，
∵AD=1/2BC，
∴BD=AD=CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，
即∠BAC=∠B+∠C，
∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和180°），
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形。
【证法2】
取AC的中点E，连接DE。
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD=1/2BC，
∵AD=1/2BC，
∴AD=CD，
∵点E是AC的中点，
∴DE⊥AC（三线合一），
∴∠DEC=90°，
∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠BAC=∠DEC=90°，
∴△ABC是直角三角形。
【证法3】
延长AD到E，是DE=AD，连接BE、CE。
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
又∵AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线相等的四边形是平行四边形），
∵AD=1/2BC，AD=DE=1/2AE，
∴BC=AE，
∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴∠BAC=90°（矩形的内角均为直角），
∴△ABC是直角三角形。

Answer 2

解：如上图在rt△abc中，∠abc=90°，点d为斜边ac上中点
求证 bd=1/2ac
证明：取bc中点e，连接de。
∴de为△abc的中位线
∴de//ab
∴de⊥bc
根据等腰三角形三线合一逆定理
∴bd=cd
∵d为ac中点
∴bd=1/2ac.
因此直角三角形斜边中线等于斜边一半。