Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，

从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）.（1）当QM=MB=6-t时，求线段QM的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围．

Answer 1

　　

　　

　　解：（1）∵AB∥DC，

　　∴Rt△AQM∽Rt△CAD．

　　∴QM/   AM   =AD/   CD

                即 （6-t）/t=4/2

　　∴QM= 6-t=4

　　（2）∵根据题意可得当0≤t≤2时，以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况：

　　①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，

　　此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，

　　②当∠PQC=90°时，如备用图1，

　　此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴

　　EQ/PE   =MA/QM

　　由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，

　　而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，

　　∴（4-2t） / （2t-2）   =1/2

　　∴t=5/3

　　③当2＜t≤6时，

　　可得CD=DP=2时，∠DCP=45°，

　　可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，

　　此时t=4，

　　综上所述，t=1或8/3或4；

　　（3）当0≤t≤2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E

　　由（1）可得

　　QM /AM =AD/CD

　　即QM /t   =4/2

　　∴QM=2t．

　　∴QE=4-2t．

　　∴S△PQC=1/2

　　PC•QE=-t2+2t，

　　即y=-t2+2t，

　　当6≥t＞2时，如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．

　　PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t．

　　由题意得，BF=AB-AF=4．

　　∴CF=BF，

　　∴∠CBF=45°，

　　∴QM=MB=6-t，

　　∴QM=PA．

　　∴四边形AMQP为矩形．

　　∴PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6-t

　　∴CH=AD-HF=t-2，

　　∴S△PQC=（PQ•CH）/2=t²/2-t

　　即y=t²/2-t

　　综上所述y=-t2+2t（0≤t≤2），

　　或y=t²/2-t（2＜t≤6）．

　　望采纳！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！