Question

设随机变量（X,Y）服从区间（-1，1）上的均匀分布，令Y=|X|,求X和Y的相关系数

Answer 1

1)先算出：E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1/3
2)再算：协方差：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X|X|)
=0.5∫(0,-1)
(-x²)dx+0.5∫(1，0)
(x²)dx
=-0.5x³/3|(上限0,下限-1)+0.5x³/3|(上限1,下限0)
=0
3)相关系数：r
=
Cov(X,Y)/[D(X)D(Y)]^0.5
=
0
4)可见：虽然
Y=|X|
有确定的函数关系，但Y、X的相关系数却等于零！

Answer 2

此问题属于连续型随机变量求期望的大类型：包含“一维随机变量”的和"二维随机变量的函数"的数学期望求法，此题属于第二种。
由于随机变量x和y都服从区间(-1,1)上的均匀分布，则可求出分别的概率密度函数
f(x)={1/2,-1
y构成的区域上积分)+∫∫(y-x)f(x)f(y)dxdy(在-1
y构成的区域上积分)+∫∫(y-x)/4dxdy(在-1

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