Question

已知数列{an}满足的前n项和为sn,且sn=(1/3)∧n+n-1，(n∈n*).

已知数列{an}满足的前n项和为sn,且sn=(1/3)∧n+n-1，(n∈n*).(1)求数列{an}通项公式。(2)若数列{bn}的通项公式满足bn=n(1-an)，求数列{bn}的前n项和Tn。 求解！在线等！

Answer 1

an=Sn-S(n-1)=1-2*(1/3)^n
bn=2n*(1/3)^n
Tn= 2* [ 1/3 + 2*1/(3^2) + 3*1/(3^3) + ..... ..................... + n*1/(3^n) ]
3Tn=2* [ 1 + 2*1/3 3*1/(3^2) + 4*1/(3^3) + ..... + n*1/(3^n-1) ]
错位相减
3Tn-Tn=2Tn=2*{1+ 1/3+1/(3^2)+1/(3^3)+.........1/[3^(n-1)] - n*1/(3^n) }
Tn=1+1/3+.....1/[3^(n-1)] - n*1/(3^n) = 3/2 [ 1- (1/3)^n ] - n*1/(3^n)
Tn=3/2-(2n+3)/2*(1/3)^n

Answer 2

Sn-1=1/3^(n-1)+n-2
an=Sn-Sn-1=1/3^n-1/3^n-1+n-1-n+2=1/3^n-1(1/3-1)+1=-2(1/3)^n+1
bn=n(1-an)=2n(1/3)^n
Tn=2*1/3+……+2n(1/3)^n
Tn/2=1/3+……+n(1/3)^n
3Tn/2=1+2*1/3+……+n(1/3)^(n-1) 用此式减去上式得
Tn=1+1/3+1/9+……+1/3^(n-1)-n(1/3)^n 前n项为等比数列，用求和公式得
Tn=(1-1/3^n)/(1-1/3)-n(1/3)^n=3/2-1/2*1/3^(n-1)-1/3n(1/3)^(n-1)=3/2-(1/3n+1/2)1/3^(n-1)