Question

已知F1F2分别是双曲线Cx^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,过点F2与双曲线的一

已知F1F2分别是双曲线Cx^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，且∠F1MF2=90°，则双曲线的离心率为

Answer 1

解：设此直线过右焦点 则过(c,0) 且平行于y=bx/a

所以过M点的直线方程为y-0=b(x-c)/a·······①

另一条渐近线为y=-bx/a······②

由①②两式消去x 得到y=-bc/2a 代入②式得x=c/2

所以M(c/2,-bc/2a) 因为∠F1MF2=90° ∴F1M⊥F2M

即(-bc/2a-0)/(c/2+c)*(-ba/2a-0)/(c/2-c)=-1

化简整理得b^2=3a^2 ∴a^2+3a^2=c^2 即e=2

综上所述 e=2即为所求