Question

已知函数f(x)=(x+1)lnx. (1)求f(x)在x=1处的切线方程;

已知函数f（x）=（x+1）lnx．（1）求f（x）在x=1处的切线方程；（2）设g(x)=1a(1-x)f(x)，对任意x∈（0，1），g（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞）
∵f′(x)=lnx+(1+x)/x，
∴f′（1）=2，且切点为（1，0）
故f（x）在x=1处的切线方程y=2x-2．
(II)
由已知a≠0，
因为x∈（0，1），所以(1+x)/(1-x)lnx＜0．
（1）当a＜0时，f（x）＞0．不合题意．
（2）当a＞0时，x∈（0，1），由f（x）＜-2，得lnx+2a(1-x)/(1+x)＜0．
设h（x）=lnx+2a(1-x)/(1+x)，则x∈（0，1），h（x）＜0．
h′(x)=[x2+(2-4a)x+1]/[x(1+x)2]．
设m（x）=x2+（2-4a）x+1，方程m（x）=0的判别式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函数，
又h（1）=ln1+2a(1-1)/[1+1]=0，所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）
若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x0∈（0，1），使得m（x0）=0，
对任意x∈（x0，1），m（x）＜0，h ′（x）＜0，h（x）在（x0，1）上是减函数，
又因为h（1）=0，
所以x∈（x0，1），h（x）＞0．不合题意．
综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）

Answer 2

1>在x=1处的切线方程，切点为x=1，f（1）=0
对函数f（x）=（x+1）lnx求导，则有
导函数f¹（x）=lnx+（x+1）/x
将x=1带入方程得f¹（1）=2
切线方程得斜率为2 且过点（1.0）
y=2x-2
2》第二题的式子我 没看明白1a(1-x)f(x)是什么意思