Question

1.在欧式空间C[-1,1]中,向量1与x正交? 2.已知欧式空间R^3的线性变换σ(x,y,z)=(x+y,y,y+z),则( )成立.

2.已知欧式空间R^3的线性变换σ(x,y,z)=(x+y,y,y+z),则( )成立.
A.σ是正交变换,但不是对称变换.
B.σ是对称变换,但不是正交变换.
C.σ是正交变换,也是对称变换.
D.σ不是正交变换,也不是对称变换.
先哪一个?为什么?

Answer 1

设 ε1=(1,0,0)^T,ε2=(0,1,0)^T,ε3=(0,0,1)^T
则 σε1=(1,0,0)^T=ε1
σε2=(1,1,1)^T=ε1+ε2+ε3
σε2=(0,0,1)^T=ε3
所以 σ(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)P
P=
1 1 0
0 1 0
0 0 1
所以 σ 不是正交变换,也不是对称变换, (D)正确.

追问

刘老师,这些我还不太懂!
σε1=(1,0,0)^T=ε1
σε2=(1,1,1)^T=ε1+ε2+ε3
σε2=(0,0,1)^T=ε3

这个中间步骤是怎么得的?
那个P应该是

1 1 0
0 1 0
0 1 1吧?
然后,怎样才是正交变换?对称变换?

第一道题还没解呢
1.在欧式空间C[-1,1]中,向量1与x正交?

追答

σε1=(1,0,0)^T
.....
这是题目给出的定义得到的

P=
1 1 0
0 1 0
0 1 1
这个矩阵不是正交矩阵,也不是对称矩阵

我不知道C[-1,1]是怎么定义的, 你看看教材吧

追问

老师,这道题怎么跟σ(x,y,z)=(x+y,y,y+z)没什么关系啊!
σε2=(1,1,1)^T=ε1+ε2+ε3中间这个(1,1,1)^T不知道哪来的?

在欧式空间C[-1,1]中,向量1与x正交?
是不是 =∫(-1→1)1*x dx=0,那1和x就正交啦!
这些不太懂,我没有答案,这样做对吧!

追答

σε2=σ(0,1,0) = (0+1,1,1+0) = (1,1,1)

是的