Question

线性代数非齐次线性方程组的题

设A为m*n矩阵，B为m*1矩阵，证明：方程组Ax=B有解的充要条件为（A的转置）y=0的任一解向量y0都是（B的转置）y=0的解向量 向量空间还没怎么学，所以不要用空间来证可以吗

Answer 1

1.
因为r(a)=2，说以n=3-r(a)=1，因为a，b是它的二个线性无关解向量，所以ax=0的基础解系即为(a-b)，此非齐次线性方程组的通解即为k1(a-b)+a。
2.
因为r(a)=3，说以n=4-r(a)=1，a(a+b)=2b，a(3b-2c)=b，所以a(a+b-6b+4c)=0，即a+b-6b+4c为ax=0的一个解，因为a+b=（2，4，6，8），3b-2c=（1，3，5，7），所以此其次方程组基础解系为（0，-1，-2，-3），1/2a(a+b)=b，所以ax=0的一组解为（1,2,3,4,），此通解为（1,2,3,4,）+k1（0，-1，-2，-3）

Answer 2

证明:
方程组Ax=B有解
<=>
r(A)=r(A,B)
<=>
r(A^T)
=
r(A^T;
B^T)
--(A^T;
B^T)是上下两块的矩阵
<=>
B^T
可由
A^T
的
行向量
组线性表示
<=>
A^Ty=0
与
(A^T;
B^T)y=0
同解
<=>
A^Ty=0的任一解向量y0都是B^Ty=0的解向量.
也可以这样考虑:
方程组Ax=B有解
<=>B可由A的
列向量
组a1,...,an线性表示
<=>B^T可由A^T的行向量组a1^T,...,an^T线性表示
以下同上.