Question

数学题求解要详细

1、p，q，（2p-1）/q，（2q-1）/P都是整数，且p＞1，q＞1，求p+q的值。
2、如果质数p，q，使得（2p+1）/q，（2q-3）/P都是正整数，那么p，q的可能取值是什么

Answer 1

1（2p-1）/q，（2q-1）/P都是整数

所以(2p-1)/q*(2q-1)/p＝(4pq-2p-2q+1)/pq （也是整数）
＝4-(2p+2q-1)/pq <4 (2p+2q-1>0)
所以(2p-1)/q*(2q-1)/p 只能取1,2,3
当取1时则(2p-1)/q=(2q-1)/p=1 得p=q 就是(2p-1)/q=(2p-1)/p=1 得2p-1=p p=1不符题意
当取2时则(2p-1)/q=1,(2q-1)/p=2 或(2p-1)/q=2,(2q-1)/p=1 得q=2 p=3/2 或p=2 q=3/2不符题意
当取3时则(2p-1)/q=1,(2q-1)/p=3 或(2p-1)/q=3,(2q-1)/p=1 得p=3 q=5 或p=5 q=3符合题意
所以p+q=3+5=8
2. (2p+1)/q*(2q-3)/p =(4pq-6p+2q-3)/pq=4-(6p-2q+3)/pq
令2p+1=qt 2q-3=pk (t,k是正整数)
得p=(qt-1)/2 2q-3=(qt-1)/2 *k 4q-6=qtk-k q(4-kt)=6-k q=(6-k)/(4-kt) 　因为q是质数所以
i>1<=k<=5 4-kt>=1 可得k=1 t=3 或k=2 t=1 或k=3 t=1 将k,t代入得p q值.
ii>k>=6 则q=(k-6)/(kt-4) kt-4>=1 显然k-6>=kt-4 k(1-t)>=2 而1-t<0所以这不可能不符题意。
综上所述得
2p+1=3q 2q-3=p 或 2p+1=q 2q-3=2p 或2p+1=q 2q-3=3p
得q=5 p=7 或q=2 p=1/2 或p=1 q=3
因此p,q只能是p=7 q=5

Answer 2

设2p+1=mq (1)
2q-3=np (2)
m和n都是大于0的整数
所以m = 2*(p/q) + 1/q
n = 2*(q/p) - 3/p
若p>2q则q/p<1/2所以n = 2*(q/p) - 3/p < 2*1/2 = 1不符合要求
若q>2p则p/q<1/2所以m = 2*(p/q) + 1/q < 2*1/2 + 1/q = 1+1/q此时可以m=1，则q=2p+1
代入(2)得4p-1=np也不符合要求
所以p < 2q , q<2p
所以m = 2*(p/q) + 1/q < 2 * 2+1/q = 4+1/q
若m = 4那么2p+1 = 4q，代入(2)得2np+6=2p+1没有满足的n
若m = 3那么2p+1=3q代入(2)得4p+2=6q=3np+9，此时n可以取1，p = 7，q = 5
若m = 2那么2p+1=2q = np+3此时也没有满足的n
综合得p,q的取值只有p = 7，q = 5

Answer 3

1. 若（2q-1)/p>=2, (2p-1)/q>=2, 则2q-1>=2p, 2p-1>=2q,
两式相加得 2p+2q-2>=2p+2q。 显然矛盾，
故（2q-1)/p，(2p-1)/q至少有一个小于2.
设（2q-1)/p<2 因为（2q-1)/p是整数, 且p>1 q>1，则（2q-1)/p=1， 即2q-1=p.
又(2p-1)/q=（4q-3)/q是整数，
即4- （3/q）是整数，所以q=1或q=3。
又q>1，则q=3 p=5 则q+p=8。

追问

呃，还有第二题吗