急!!高中数学题,关于导函数!!
已知函数f(x)=(ax²+bx+c)/e^x(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0(1)求f(x)的单调区间(2)若f(x)的极小值为-e3,求...
已知函数f(x)=(ax²+bx+c)/e^x(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0
(1)求f(x)的单调区间
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值
(2)若f(x)的极小值为-e^3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值 展开
(1)求f(x)的单调区间
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值
(2)若f(x)的极小值为-e^3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值 展开
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f′(x)=((2ax+b)e^x-(ax²+bx+c)e^x)/e^(2x)=—(ax²+(b-2a)x+(c-b))/e^x;
设g(x)=ax²+(b-2a)x+(c-b),则清灶并g(x)的零点为-3,0;
根据韦达定理有(2a-b)/a=2-b/a=-3,(c-b)/a=0,可得b/a=5,c=b=5a。
(1)当x∈[-3,0]时,g(x)<0,f′(x)>0,f(x)在该区间内递增;
当x∈(-∞,-3]∪答迹[0,+∞)时,g(x)>0,f′(x)<0,f(x)在该区间内递减;
所以单调递增区间为[-3,0],单调递减区间为(-∞,-3]∪[0,+∞)。
(2)根据单调性可以得到:
极小值为f(-3)=(9a-3b+c)/e^(-3)=(9a-3b+c)e^3=-e^3,所以9a-3b+c=-1;
利用之前的结论c=b=5a可以得到9a-10a=-1,所以a=1,从而推出b=c=5;
最大值可能是极大值或者在区间端点上,因此,为求最大值辩皮,需比较f(-5)与f(0)的大小:
f(-5)=(25-5×5+5)e^5=5e^5,f(0)=5<f(-5);
所以f(x)在给定区间上的最大值为5e^5。
设g(x)=ax²+(b-2a)x+(c-b),则清灶并g(x)的零点为-3,0;
根据韦达定理有(2a-b)/a=2-b/a=-3,(c-b)/a=0,可得b/a=5,c=b=5a。
(1)当x∈[-3,0]时,g(x)<0,f′(x)>0,f(x)在该区间内递增;
当x∈(-∞,-3]∪答迹[0,+∞)时,g(x)>0,f′(x)<0,f(x)在该区间内递减;
所以单调递增区间为[-3,0],单调递减区间为(-∞,-3]∪[0,+∞)。
(2)根据单调性可以得到:
极小值为f(-3)=(9a-3b+c)/e^(-3)=(9a-3b+c)e^3=-e^3,所以9a-3b+c=-1;
利用之前的结论c=b=5a可以得到9a-10a=-1,所以a=1,从而推出b=c=5;
最大值可能是极大值或者在区间端点上,因此,为求最大值辩皮,需比较f(-5)与f(0)的大小:
f(-5)=(25-5×5+5)e^5=5e^5,f(0)=5<f(-5);
所以f(x)在给定区间上的最大值为5e^5。
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