Question

设平面直角坐标系中,二次函数f(x)=x^2+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C

求圆C方程，用圆的标准方程做
设圆心c的方程为X²+y²+dx+ey+f=0
令y=0，得x²＋dx+f=0,此方程与x²＋2x＋b=0,是同一方程。
为什么是同一方程？

Answer 1

已知f(x)与x轴有两个交点，设为 (m,0), (n,0).
则 f(x)= x^2+2x+b=0 有两个根, 为 (x-m)(x-n)=0
由题意，圆C经过这两个点，
则 当y=0时，圆C方程的根是与x轴的交点，也是m, n
即 x^2+dx+f=(x-m)(x-n)=0
所以说 x^2+dx+f=0 与 x^2+2x+b=0 是同一方程。
故 d=2, f=b
又 f(x)与y轴的交点为b，b≠0
则 y^2+ey+f=0 的一个根为b
即 b^2+eb+f=b^2+eb+b=0
得 e=-(1+b)
故园C方程： x^2+y^+2x-(1+b)y+b=0