Question

圆中最值问题10种求法

Answer 1

有关圆的最值问题，在中考中常常以选择、填空的形式出现，这类试题"小而精"，但涉及的知识面广，综合性强。很多同学对解决这类问题常会感到束手无策。下面以常见的几种类型入手，针对2020年中考数学可能出现圆的几何最值问题进行采用，带大家一起感悟解决这类问题的思路和方法，使中考数学复习更有针对性、实效性。

一、利用垂线段最短求最值
例1．（2020•泸县模拟）如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8

而OD为定值，OC最小时，CD最大，根据垂线段最短得到当OC＝OH时，CD的值最大，从而得到CD的最大值为4．故选：B．
二、作点对称，利用将军饮马模型

三、利用坐标特性进行转换
例3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最大值是_______.

【解析】：如图，连接AP，
∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，∴AP＝1/2BC＝AB＝t，
要t最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大，
∴点D在AP上，∵A（0，1），D（4，4），

∴t的最大值是AP＝AD+PD＝5+1＝6，故答案为：6，
四、利用定边定角模型构造辅助圆求解
例4．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4√3，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线1，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）

【解析】：如图，连接CE．
∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，

五、利用特殊位置特性求解
例5．如图．已知y轴正半轴上有两点A（0，a），B（0，b），其中a＞b＞0，在x轴上取一点C使∠ACB最大，求C点坐标________．

六、设取变量，构造二次函数求解
例6.如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，DE∥BC．若△ABC的周长为8，则DE的最大值为______．

【解析】：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

所以当x＝2时，DE的最大值为1．故答案为：1．
七、构造相似三角形求解
例7．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如

【解析】：如图，设半圆与AC、BC的切点为D、E，
连接OP、OC、OD、OE，则OE＝OD，OD⊥AC，OE⊥BC，
所以CO平分∠ACB，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°

圆几何最值问题涉及的知识点很多，往往常与三角形、四边形、圆、轴对称、平移、旋转、直角坐标系、方程、不等式及函数等知识联系在一起，涉及的数学思想方法也很多，其中函数思想、模型思想、化归思想尤为突出，因此备受命题者的青睐. 学生不仅需要夯实与求最值有关的知识并熟练基本模型的建构，善于从复杂的、陌生的图形中分离或构造出基本模型，还要对解题思路和模型选择的方法多反思、多总结，只有这样，才能灵活应对几何最值问题.