(2012•孝感)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两
(2012•孝感)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A(-1,0),B(3...
(2012•孝感)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标;
(2012•孝感)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标; 展开
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标;
(2012•孝感)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标; 展开
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分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,然后化为顶点式求出D点坐标;(2)本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式,这个表达式是关于P点横坐标的二次函数,再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值,并求出P点坐标;
(3)四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时,需要结合几何图形的性质求出P点坐标:
①当四边形PQAC为平行四边形时,如答图1所示.构造全等三角形求出P点的纵坐标,再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点,求出P点的横坐标;
②当四边形PQAC为平行四边形时,如答图2所示.利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系,求出P点坐标.注意三角函数关系部分,也可以用相似三角形解决.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax²+bx+c过点C(0,3)∴当x=0时,c=3.
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A(-1,0),B(3,0)
∴0=a-b+3,0=9a+3b+3,解得a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为:y=-x²+2x+3
又∵y=-x²+2x+3,y=-(x-1)²+4
∴顶点D的坐标是(1,4).
(2)设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0)
∵直线y=kx+n过点B(3,0),D(1,4)
∴0=3k+n,4=k+n,解得k=-2,n=6
∴直线BD的解析式:y=-2x+6
∵P点在线段BD上,因此,设点P坐标为(m,-2m+6)
又∵PM⊥x轴于点M,∴PM=-2m+6,OM=m
又∵A(-1,0),C(0,3)∴OA=1,OC=3
设四边形PMAC面积为S,则
S=1/2OA•OC+1/2(PM+OC)•OM=1/2×1×3+1/2(-2m+6+3)•m
=-m2+9/2 m+3/2=-(m-9/4)²+105/16
∵1<9/4<3
∴当m=9/4时,四边形PMAC面积的最大值为105/16
此时,P点坐标是(9/4,3/2).
(3)答案:(2,3);(11/4,15/16).
******注:以下给出解题简要过程,原题并无此要求******
①四边形PQAC是平行四边形,如右图①所示.
过点P作PE⊥x轴于点E,易证△AOC≌△QEP,
∴yP=PE=CO=3.
又CP∥x轴,则点C(0,3)与点P关于对称轴x=1对称,
∴xP=2.
∴P(2,3).
②四边形PQAC是等腰梯形,如右图②所示.
设P(m,n),P点在抛物线上,则有n=-m²+2m+3.
过P点作PE⊥x轴于点E,则PE=n.
在Rt△OAC中,OA=1,OC=3,∴AC=√10,tan∠CAO=3,cos∠CAO=√10/10;
∵PQ∥CA,∴tan∠PQE=PE/QE=tan∠CAO=3,
∴QE=1/3n,PQ=√﹙QE²+PE²﹚=√10/3 n.
过点Q作QM∥PC,交AC于点M,
则四边形PCMQ为平行四边形,△QAM为等腰三角形.再过点Q作QN⊥AC于点N.
则有:CM=PQ=√10/3 n,AN=1/2AM=1/2(AC-CM)=√10/2(1-1/3 n),
AQ=AN/cos∠CAO=[√10/2(1-1/3 n)]/√10/10=5(1-1/3 n).
又AQ=AO+OQ=1+(m-1/3 n),
∴5(1-1/3 n)=1+(m-1/3 n),化简得:n=3-3/4 m;
又P点在抛物线上,有n=-m²+2m+3,
∴-m²+2m+3=3-3/4 m,化简得:m²-11/4 m=0,解得m1=0(舍去),m2=11/4
∴m=11/4,n=3-3/4 m=15/16,
∴P(11/4,15/16).
点评:本题综合考查了诸多重要的知识点,包括:二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的极值、图形面积的求法、等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、三角函数(或相似三角形)等,涉及考点众多,有一定的难度.本题难点在于第(3)问等腰梯形的情形,注意该种情形下求点的坐标的方法.
有疑问可以追问哦,。
(3)四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时,需要结合几何图形的性质求出P点坐标:
①当四边形PQAC为平行四边形时,如答图1所示.构造全等三角形求出P点的纵坐标,再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点,求出P点的横坐标;
②当四边形PQAC为平行四边形时,如答图2所示.利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系,求出P点坐标.注意三角函数关系部分,也可以用相似三角形解决.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax²+bx+c过点C(0,3)∴当x=0时,c=3.
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A(-1,0),B(3,0)
∴0=a-b+3,0=9a+3b+3,解得a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为:y=-x²+2x+3
又∵y=-x²+2x+3,y=-(x-1)²+4
∴顶点D的坐标是(1,4).
(2)设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0)
∵直线y=kx+n过点B(3,0),D(1,4)
∴0=3k+n,4=k+n,解得k=-2,n=6
∴直线BD的解析式:y=-2x+6
∵P点在线段BD上,因此,设点P坐标为(m,-2m+6)
又∵PM⊥x轴于点M,∴PM=-2m+6,OM=m
又∵A(-1,0),C(0,3)∴OA=1,OC=3
设四边形PMAC面积为S,则
S=1/2OA•OC+1/2(PM+OC)•OM=1/2×1×3+1/2(-2m+6+3)•m
=-m2+9/2 m+3/2=-(m-9/4)²+105/16
∵1<9/4<3
∴当m=9/4时,四边形PMAC面积的最大值为105/16
此时,P点坐标是(9/4,3/2).
(3)答案:(2,3);(11/4,15/16).
******注:以下给出解题简要过程,原题并无此要求******
①四边形PQAC是平行四边形,如右图①所示.
过点P作PE⊥x轴于点E,易证△AOC≌△QEP,
∴yP=PE=CO=3.
又CP∥x轴,则点C(0,3)与点P关于对称轴x=1对称,
∴xP=2.
∴P(2,3).
②四边形PQAC是等腰梯形,如右图②所示.
设P(m,n),P点在抛物线上,则有n=-m²+2m+3.
过P点作PE⊥x轴于点E,则PE=n.
在Rt△OAC中,OA=1,OC=3,∴AC=√10,tan∠CAO=3,cos∠CAO=√10/10;
∵PQ∥CA,∴tan∠PQE=PE/QE=tan∠CAO=3,
∴QE=1/3n,PQ=√﹙QE²+PE²﹚=√10/3 n.
过点Q作QM∥PC,交AC于点M,
则四边形PCMQ为平行四边形,△QAM为等腰三角形.再过点Q作QN⊥AC于点N.
则有:CM=PQ=√10/3 n,AN=1/2AM=1/2(AC-CM)=√10/2(1-1/3 n),
AQ=AN/cos∠CAO=[√10/2(1-1/3 n)]/√10/10=5(1-1/3 n).
又AQ=AO+OQ=1+(m-1/3 n),
∴5(1-1/3 n)=1+(m-1/3 n),化简得:n=3-3/4 m;
又P点在抛物线上,有n=-m²+2m+3,
∴-m²+2m+3=3-3/4 m,化简得:m²-11/4 m=0,解得m1=0(舍去),m2=11/4
∴m=11/4,n=3-3/4 m=15/16,
∴P(11/4,15/16).
点评:本题综合考查了诸多重要的知识点,包括:二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的极值、图形面积的求法、等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、三角函数(或相似三角形)等,涉及考点众多,有一定的难度.本题难点在于第(3)问等腰梯形的情形,注意该种情形下求点的坐标的方法.
有疑问可以追问哦,。
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答:1)把A、B、C三点代入抛物线得到3个方程,解方程后得到y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.
顶点D坐标为(1,4)。
2)把B和D坐标代入直线BD,可得直线BD解析式为y=-2x+6。设P点为(x,-2x+6),则点M为(x,0),显然:1<=x<=3。
四边形PMAC面积S1=梯形PMOC+直角三角形AOCx
=(3-2x+6)*x/2+1*3/2=-x*x+9x/2+3/2
当x=9/4时有最大值S1max=105/16,此时P点为(9/4,3/2)
顶点D坐标为(1,4)。
2)把B和D坐标代入直线BD,可得直线BD解析式为y=-2x+6。设P点为(x,-2x+6),则点M为(x,0),显然:1<=x<=3。
四边形PMAC面积S1=梯形PMOC+直角三角形AOCx
=(3-2x+6)*x/2+1*3/2=-x*x+9x/2+3/2
当x=9/4时有最大值S1max=105/16,此时P点为(9/4,3/2)
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