Question

对数函数

“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t=-44lg(1-N/90)中，t表示达到某一英文打字水平(字/分)所需的学习时间（时），N表示每分钟打出的字数(字/分)
(1)计算要达到45字/分，60字/分水平所需的学习时间(精确到“时”)
(2)判断函数的单调性，并用定义法加以证明

Answer 1

1) 记t(N)=-44lg(1-N/90)
则t(45)=-44lg(1-45/90)=-44lg(1/2)=44lg2≈13，t(60)=-44lg(1-60/90)=-44lg(1/3)=44lg3≈21
所以达到45字/分的速度需要的学习时间约为13小时
而达到60字/分的速度需要的学习时间约为21小时

2) 函数单t(N)调增，下证：
设t的定义域为D，对于任意两个数N1、N2∈D，若N1>N2
则t(N1)-t(N2)
=-44lg(1-N1/90)-(-44lg(1-N2/90))
=44(lg(1-N2/90)-lg(1-N1/90))
=44lg((1-N2/90)/(1-N1/90))
=44lg((90-N2)/(90-N1))
由N1>N2得90-N1<90-N2
由于N1∈D，所以在对数lg(1-N1/90)中，真数1-N1/90>0，即90-N1>0
则由90-N1<90-N2，可得(90-N2)/(90-N1)>(90-N1)(90-N1)=1
而lgx为单调增函数，所以由(90-N2)/(90-N1)>1，可得lg((90-N2)/(90-N1))>lg1=0
所以t(N1)-t(N2)=44lg((90-N2)/(90-N1))>0，即t(N1)>t(N2)
对于任意两个数N1、N2∈D，若N1>N2，得出t(N1)>t(N2)
根据定义，t(N)在其定义域上单调增，或者可以直接说t(N)单调增

Answer 2