三重积分如何用柱面坐标求球体积 x^2+y^2+z^2=1
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这正是我出的多元微积分考题之一。
柱坐标：
x = r cosθ = cosθ
y = r sinθ = sinθ
z^2 = 1-r^2
球体积 = ∫[0,2π] ∫[0,1] ∫[0, √(1-r^2)] 2dz rdr dθ
= ∫[0,2π] ∫[0,1] 2r √(1-r^2)] dr dθ
= 2π [-(2/3)(1-r^2)^(3/2)]|[0,1]
= (4/3)π
柱坐标：
x = r cosθ = cosθ
y = r sinθ = sinθ
z^2 = 1-r^2
球体积 = ∫[0,2π] ∫[0,1] ∫[0, √(1-r^2)] 2dz rdr dθ
= ∫[0,2π] ∫[0,1] 2r √(1-r^2)] dr dθ
= 2π [-(2/3)(1-r^2)^(3/2)]|[0,1]
= (4/3)π
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