一道高一数学题(关于基本初等函数)

已知二次函数f(x)=x2+x的定义域D恰是不等式f(-x)+f(x)≤2|x|的解集,其值域为A.函数g(x)=x3-3tx+0.5t的定义域为[0,1],值域为B.问... 已知二次函数f(x)=x2+x的定义域D 恰是不等式 f(-x)+f(x)≤2|x|的解集,其值域为A.函数 g(x)=x3-3tx+ 0.5t的定义域为[0,1],值域为B.

问:是否存在实数t,使得A⊆B成立?若存在,求实数t 的取值范围;若不存在,请说明理由.
过程可以简略一些,但是写清楚你们的思路。
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韩增民松
2013-03-01 · TA获得超过2.3万个赞
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已知二次函数f(x)=x2+x的定义域D 恰是不等式 f(-x)+f(x)≤2|x|的解集,其值域为A.函数 g(x)=x3-3tx+ 0.5t的定义域为[0,1],值域为B.问:是否存在实数t,使得A⊆B成立?若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
解题思路:
首先:求出二次函数f(x)=x2+x的值域A;
其扰孝次:分析函数g(x)=x^3-3tx+ 0.5t的单调性;
最后:确定函数g(x)=x^3-3tx+ 0.5t的值域,求出满足题意要求的t的取值范围;

解析:∵二次函数f(x)=x^2+x的定义域D 恰是不等式 f(-x)+f(x)≤2|x|的解集
F(-x)=x^2-x==>f(-x)+f(x)=2x^2<=2|x|
解得-1<=x<=1
∴函数f(x)=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4的定义域D=[-1,1]
f(1)=2,∴函数f(x)值域为A=[-1/4,2]

∵函数g(x)=x^3-3tx+1/2t的定义域为[0,1],值域为B
令g’(x)=3x^2-3t=0==>x1=-√t,x2=√t (t>0)
g’’(x)=6x==> g’’(x1)<0,g(x)在x1处取极大值;g’’(x2)>0,g(x)在x2处取极小值;

(1)当t<=0时,g’(x)>=0,g(x)在定义域内单调增;
g(0)=1/2t,g(1)=1-5t/2,其值域为B=[t/2,1-5t/2]
令t/2<=-1/4==>t<=-1/2;1-5t/2>=2==>t<=-2/5
∴当t<=-1/2时,满足A⊆B成立
(2)当0<t<1时,g(x)在定缓顷稿义域内不单调,在x=√t处取极小值g(√t)=√t/2-2t^(3/2)
令1/2t=1-5t/2==>t=1/3,
∴当0<t<1/3时乎旦,g(x)值域为B=[√t/2-2t^(3/2),1-5t/2];
令√t/2-2t^(3/2)<=-1/4==>t>=0.4387;1-5t/2>=2==>t<=-2/5
在此区间,不满足A⊆B成立
当1/3<=t<1时,g(x)值域为B=[√t/2-2t^(3/2),t/2]
令√t/2-2t^(3/2)<=-1/4==>t>=0.4387;t/2>=2==>t>=4
在此区间,不满足A⊆B成立
(3)当t>=1时,g(x)在定义域内单调减;其值域为B=[1-5t/2,t/2]
令1-5t/2<=-1/4==>t>=1/2;t/2>=2==>t>=4
∴当t>=4时,满足A⊆B成立

综上:满足A⊆B成立,t的取值范围是:(-∞,-1/2]∪[4,+∞)
suixindfen
2013-02-28 · TA获得超过4.2万个赞
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楼主你好

可以从三个角度分析:
①当 t≤0时,函数 g(x)=x^3-3tx+0.5t在 x∈[0,1]单调递增,可求B,进而可求t的范围

②当 0<t<1 时,函数 g(x)的减区间为:[0,√t];g(x)的增区间为:模郑[√t,1].
g(x)在 x=达到最小值.
③当t≥1时,函数 g(x) 在区间[0,1]单调递减可求t的范围

解:①当t≥1时液明,函数 g(x) 在区间[0,1]单调递减,∴B=[1-5/2t,t/2]
∴t/2≥2 且1-5/2t≤ -1/4 ,即t≥4
综上所述:t的取值范围是:(-∞,-1/2]∪[4,闹码告+∞)

②当 0<t<1 时,函数 g(x)的减区间为:[0,√t];g(x)的增区间为:[√t,1].
g(x)在 x=达到最小值.g(0)≥2或g(1)≥2;且g(√t)≤ -1/4 此与0<t<1矛盾.

③当t≥1时,函数 g(x) 在区间[0,1]单调递减,∴B=[1-5/2t,t/2]
∴t/2≥2且1-5/2t≤-1/4,即t≥4
综上所述:t的取值范围是:(-∞,-1/2]∪[4,+∞)

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