Question

如何证明方程x^3+px+q=0(p>0)有且只有一个实根（详细过程）

Answer 1

1.

设f(x)=x^3+px+q
f'(x)=x²+p
因为x²>=0 p>0
即f'(x)>0
所以
f(x)在定义R内单调递增
即方程x^3+px+q=0(p>0)最多一个实根；
2.
f(x)=x^3+px+q
因为
lim（x→-∞）f(x)=lim（x→-∞）【x^3+px+q】=-∞
而
lim（x→＋∞）f(x)=lim（x→＋∞）【x^3+px+q】=＋∞
由零点定理，知
方程至少有一个实根
所以
由1,2，得
方程x^3+px+q=0(p>0)有且只有一个实根。

追问

能不能直接
∵f(x)在定义R内单调递增
∴方程x^3+px+q=0(p>0)有且只有一个实根？？？？

追答

不可以
如
y=e的x次方
根本没有0点。

追问

嗯嗯，有道理！谢谢！！

追答

不谢。

Answer 2

设g(x)=x^3+px+q
g'(x)=x^2+p
∵x^2>=0 p>0
∴g'(x)>0
∴g(x)在定义R内单调递增
∴方程x^3+px+q=0(p>0)有且只有一个实根